Méthode de la variation de la constante

On cherche à résoudre l'équation différentielle $(\text{E})y^{\prime }+y={\displaystyle \frac{1}{1+{\text{e}}^x}}$ .

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$   l'équation différentielle $y^{\prime }+y=0$ .

2. On cherche une solution particulière de l'équation $(\text{E})$ de la forme $f(x)=k(x){\text{e}}^{-x}$ .
    a. Justifier que, pour tout  $x$ réel, $k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}}$ .
    b. En déduire une expression de $k(x)$ .
    c. En déduire alors toutes les solutions sur $\mathbb{R}$  de l'équation $(\text{E})$ .